Consigne: Montrer que pour toute matrice carrée \(A\), avec \(P_A\) scindé, il existe deux matrices \(D_A\) et \(N_A\) telles que :
1. \(A=D_A+N_A\)
2. \(D_A\) est diagonalisable
3. \(N_A\) est nilpotente
4. \(N_AD_A=D_AN_A\)
5. (théorème de la décomposition de Dunford)

La matrice de \(A\) prend la forme $$\begin{align}\left(\begin{array}{c|c|c|c}\overset{m_1}{?}&\overset{m_2}{\varnothing}&\overset{\ldots}{\varnothing}&\overset{m_k}{\varnothing}\\ \hline\varnothing&?&\varnothing&\varnothing\\ \hline\varnothing&\varnothing&?&\varnothing\\ \hline\varnothing&\varnothing&\varnothing&?\end{array}\right)\begin{array}{c}m_1\\ m_2\\ \vdots\\ m_k\end{array}\end{align}$$

Après changements à l'intérieur de chaque \(N_{\lambda_i}\) : $$\operatorname{matr}A=\left(\begin{array}{c|c|c|c}\begin{array}{ccc}\lambda_1&&\varnothing\\ &\ddots\\ ?&&\lambda_1\end{array}&\varnothing&\varnothing&\varnothing\\ \hline\varnothing&\begin{array}{ccc}\lambda_2&&\varnothing\\ &\ddots\\ ?&&\lambda_2\end{array}&\varnothing&\varnothing\\ \hline\varnothing&\varnothing&\ddots&\varnothing\\ \hline\varnothing&\varnothing&\varnothing&\begin{array}{ccc}\lambda_k&&\varnothing\\ &\ddots\\ ?&&\lambda_k\end{array}\end{array}\right)$$

\(\operatorname{matrice}(A)\) est diagonale par blocs, et chaque bloc est de la forme : $$\begin{align}\begin{pmatrix}\lambda&&\varnothing\\ &\ddots\\ ?&&\lambda\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\lambda&&\varnothing\\ &\ddots\\ \varnothing&&\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&&\varnothing\\ &\ddots\\ ?&&0\end{pmatrix}\\ &=D+N\end{align}$$
Avec \(D=\lambda\operatorname{Id}\) diagonale et \(N\) nilpotente

On a \(D_kN_k=N_kD_k\) pour touts \(N_k\), \(D_k\), donc à l'échelle de la matrice, on a : $$DN=ND$$

$$P^{-1}AP=\underbrace{\left(\begin{array}{c|c|c|c}\lambda_1\operatorname{Id}\\ \hline&\lambda_2\operatorname{Id}\\ \hline&&\ddots\\ \hline&&&\lambda_k\operatorname{Id}\end{array}\right)}_{\text{diagonale} }+\underbrace{\left(\begin{array}{c|c|c|c}N_1\\ \hline&N_2\\ \hline&&\ddots\\ \hline&&&N_k\end{array}\right)}_{\text{nilpotente} }$$

Donc $$A=\underbrace{P\left(\begin{array}{c|c|c|c}\lambda_1\operatorname{Id}\\ \hline&\lambda_2\operatorname{Id}\\ \hline&&\ddots\\ \hline&&&\lambda_k\operatorname{Id}\end{array}\right) P^{-1} }_{\text{diagonalisable} }+\underbrace{P\left(\begin{array}{c|c|c|c}N_1\\ \hline&N_2\\ \hline&&\ddots\\ \hline&&&N_k\end{array}\right) P^{-1} }_{\text{nilpotente} }$$

Consigne: Soit \(A\) la matrice de \(M_3({\Bbb R})\) suivante : $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\ -1&2&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}$$ ses valeurs propres sont \(1\) (de multiplicité \(2\)) et \(2\) (de multiplicité \(1\))
De plus, son sous-espace propre pour \(\lambda=1\) est \(\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\) et celui pour \(\lambda=2\) est \(\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
Son sous-espace caractéristique pour \(\lambda=1\) est \(\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}\)
Déterminer une base de \({\Bbb R}^3\) dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé à \(A\) est $$B=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ en déduire la décomposition de Dunford de \(B\)

Nommer les vecteurs
On pose \(u=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) et \(w=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
On cherche \(v\) tel que \(Aw=v+w\) \(\Rightarrow\) \(v=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\)
Donc on a \(Av=v\)

Construire \(P\) et en déduire \(P^{-1}AP\) (avec les propriétés des vecteurs)
Si \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}\), alors \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)

Dunford : somme des sous-espaces propres

La décomposition de Dunford de \(B\) est : $${\Bbb R}^3=\underbrace{\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}}_{E_2}\oplus\underbrace{\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right)}_{E_1}$$

Consigne: Soit \(A\) la matrice $$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&-1&0\\ -1&2&-1\end{pmatrix}$$ et \(f\) l'endomorphisme de \({\Bbb R}^3\) associé
Le polynôme caractéristique de \(A\) est \(P(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)^2\)
On a de plus \(E_1=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) et \(E_{-1}=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}\)
Avec \(P=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\), on a \(B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&2\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\)
Écrire la composition de Dunford de \(B\) (justifier)

On a : $$\begin{align}{\Bbb R}^3&={\Bbb R}\oplus{\Bbb R}^2\\ &=E_1\oplus E_{-1}\\ &=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\oplus\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right\}\end{align}$$

(Sous-espace propre)